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L’énigme des îles de Créteil

Afin de ne pas laisser vos neurones et vos pieds s’ennuyer cet été, l’ASBCA vous propose une énigme liant l’activité cérébrale à l’activité pédestre.

Le célèbre problème des ponts de Königsberg (*), résolu par Leonhard Euler au XVIIIe siècle, a été le point de départ de la topologie (une branche féconde des mathématiques qui étudie les transformations continues des déformations spatiales).

Il s’agissait pour Euler d’expliquer pourquoi il était impossible de trouver une promenade qui permette de franchir les 7 ponts des deux îles de Königsberg (actuelle Kaliningrad), une fois et une fois seulement. Ce qui semblait évident (cf. le schéma) n’avait pourtant jamais été démontré.

Sa longue mais lumineuse démonstration aboutira à une règle simple qu’il généralisera ensuite à tous les graphes et diagrammes. Mais restons-en aux ponts et aux régions auxquelles ils conduisent :

  • Il est toujours possible de trouver au moins un itinéraire empruntant, une fois et une seule fois, tous les ponts reliant les régions à visiter, si le nombre des ponts aboutissant à chacune de ces régions est pair ;
  • Il est toujours possible de trouver au moins un itinéraire empruntant, une fois et une seule fois, tous les ponts reliant les régions à visiter, s’il n’existe que deux régions comptant un nombre impair de ponts pour y conduire, à la condition de démarrer la promenade dans une des deux régions à nombre impair de ponts ;
  • Il est impossible de trouver un itinéraire empruntant, une fois et une seule fois, tous les ponts reliant les régions à visiter, s’il existe plus de deux régions comptant un nombre impair de ponts pour y conduire.

Nos trois îles principales (Sainte-Catherine, Brisepain et La Guyère) sont reliées à Créteil, à Saint-Maur, et entre elles, par 8 ponts ou passerelles (si l’on fait abstraction du passage au dessus du barrage du Bras du Chapitre). Un nombre pair de ponts ou de passerelles aboutit à chacune des zones desservies : 2 pour Saint-Maur ; 4 pour Créteil-Village ; 4 pour l’Île Sainte-Catherine, 4 pour l’Île Brisepain et 2 pour l’Île de la Guyère. La règle-1 s’applique. On peut donc se promener dans et autour de nos îles, à pied ou en vélo, en revenant au point de départ après avoir franchi tous les ponts une seule fois, quel que soit l’endroit d’où l’on part…

Mais si l’on veut ajouter à ces 8 ponts ou passerelles, le passage au dessus du barrage du Bras du Chapitre, entre Créteil-Village et le bout de l’Île Brisepain, le nombre des accès à ces deux endroits devient impair, et la règle-2 s’applique. L’itinéraire devra alors impérativement débuter à Créteil-Village pour aboutir à l’Île Brisepain (ou l’inverse)…

Contrairement au Königsberg du XVIIIe siècle, il est donc toujours possible de se promener dans nos îles sans repasser deux fois sur le même pont. Il y a même de multiples itinéraires possibles. Nous vous laissons le  soin de les découvrir Bonnes promenades !

(*) – Note : « Tentez l’impossible !» => http://rigolmath.free.fr/ponts/ponts.htm